全部来自 AI 原创生成并经逐题审校的题目，带 精品 标记的为 AI 复审通过。整卷生成请去组卷。
求函数 f(x,y)=2x²+y² 在约束条件 x+y=6 下的条件极小值，并说明该函数在此约束条件下是否存在条件极大值（说明理由）。
登录后查看答案
设 z = ln(x² + y²)，求二阶偏导数 ∂²z/∂x∂y。
设二元函数 z = z(x,y) 由方程 sin(xz) + x + y = z 确定，且 z 在点 (0,0) 的某邻域内有连续偏导数（此时 z(0,0)=0）。求 ∂z/∂x 与 ∂z/∂y 在点 (0,0) 处的值。
设 z = f(u, v) 具有一阶连续偏导数，且 u = e^(xy)，v = x + y²，求 ∂z/∂y（用 f₁′、f₂′ 表示）。
设二元函数 z = z(x, y) 由方程 e^z = xy + z 确定，求 ∂z/∂x 与 ∂z/∂y。
设 z = x²y + e^(xy)，求函数在点 (1, 2) 处的两个偏导数 ∂z/∂x 与 ∂z/∂y 的值。
计算反常积分 ∫₀^(+∞) x·e^(-√x) dx 的值。
计算反常积分 ∫₀^(+∞) x²·e^(-x) dx 的值。
设连续函数 f(t)=t+2，定义变限积分函数 F(x)=∫₀^(x³) t·f(t) dt（t 为积分变量）。求 F″(1)。
设 f(x) 在 [0,1] 上连续，且满足 ∫₀¹ f(x)dx = 0，∫₀¹ x·f(x)dx = 1。证明：对一切满足条件的 f(x)，恒有 ∫₀¹ f²(x)dx ≥ 12，并求使等号成立时的 f(x)。
设连续函数 f(t) = ∫₀ᵗ (t − s)·2s ds（s 为积分变量）。再定义变限积分函数 F(x) = ∫₀^(x²) f(t) dt。求 F″(1)。
计算反常积分 ∫₂^(+∞) 1/(x²-1) dx 的值。
设 f(t)=t²，定义 F(x)=∫₁^(x) f(t)dt，求 F′(2)。
已知定积分的柯西—施瓦茨不等式：对区间 [a,b] 上的连续函数 f(x)、g(x)，有 (∫ₐᵇ f(x)g(x)dx)² ≤ ∫ₐᵇ f²(x)dx · ∫ₐᵇ g²(x)dx。（1）在上式中取 f(x)=1，g(x)=x，a=0，b=1，写出所得的不等式；（2）分别计算不等式两端的积分值，验证该不等式成立。
已知二次型 f(x₁,x₂,x₃)=2x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂。（1）用正交变换 x=Qy 将 f 化为标准形，写出该标准形及所用的正交变换矩阵 Q；（2）判断 f 是否正定，并说明理由。
设实对称矩阵 A = [[2, a], [a, 5]]（a 为实数），已知 6 是 A 的一个特征值，且 a > 0。（1）求 a 的值及 A 的全部特征值；（2）判断 A 是否可相似对角化并说明理由；（3）利用 A = QΛQ⁻¹ 计算 A⁵。
用配方法将二次型 f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+2x₃²+4x₁x₂ 化为标准形，并写出所用的可逆线性变换 x=Cy。
已知矩阵 A = [[1, 2], [2, 1]]。（1）求 A 的特征值与特征向量，并判断 A 是否可相似对角化，说明理由；（2）求可逆矩阵 P 与对角矩阵 Λ，使得 A = PΛP⁻¹；（3）计算 A⁵。
设线性方程组：x₁+x₂+x₃+x₄=1，x₁+2x₂+3x₃+4x₄=2，2x₁+3x₂+4x₃+5x₄=t。问：t 为何值时方程组有无穷多解？此时求出其通解。
已知二次型 f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+x₂²+x₃²+2x₁x₂。（1）用正交变换 x=Qy 将 f 化为标准形，并写出所用的正交变换矩阵 Q；（2）判定 f 是否正定，说明理由。