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某物流公司研究包裹分拣批次数 x（批）与单日加班时长 y（小时）的关系，记录5组数据：(x,y) 分别为 (1,3)、(2,5)、(3,6)、(4,8)、(5,8)。假设一元线性回归模型 yᵢ=β₀+β₁xᵢ+εᵢ，误差独立且服从 N(0,σ²)。请用最小二乘法完成以下计算：(1) 求回归系数的估计值 β̂₀ 与 β̂₁；(2) 求残差平方和 SSE 与误差方差估计 σ̂²=SSE/(n-2)；(3) 检验 H₀: β₁=0 对 H₁: β₁≠0，计算 t 统计量（已知 t=β̂₁/√(σ̂²/∑(xᵢ-x̄)²)），取显著性水平 0.05，df=3 时临界值 t₀.₀₂₅=3.182，给出检验结论。
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设目标函数 f(x)=2(x−1)²，用梯度下降法求其极小点，迭代公式为 x_{k+1}=x_k−αf′(x_k)，其中 f′(x)=4(x−1)。取固定步长 α=3/8，初始点 x₀=5，已知极小点 x*=1。以误差 e_k=|x_k−1| 度量收敛，停止准则为 e_k≤0.05。(1) 写出 e_k 与 e_{k−1} 的递推关系；(2) 求使停止准则首次满足的最小迭代次数 k。
设某系统相继检修间隔 X₁,X₂,… 独立同分布，X 取值 1 或 2，概率各为 1/2，检修完成后立即重新开始，{N(t), t≥0} 为对应的更新过程，m(t)=E[N(t)] 为更新函数。（1）写出 m(t) 满足的更新方程；（2）利用该方程逐段计算 m(1)、m(2)、m(3)。
为比较4种施肥方案对某作物产量的影响，进行单因素完全随机试验，每种方案重复5次。经方差分析得误差均方 MSE=6，误差自由度 df=16，四个处理的平均产量分别为 x̄₁=20、x̄₂=24、x̄₃=22、x̄₄=18（单位：kg）。取显著性水平 α=0.05，已知 F(0.05; 3, 16)=3.24。试用 Scheffé 法对所有处理均值作多重比较，判断哪些处理均值之间存在显著差异（列出显著差异的处理对）。
设两组随机向量 X=(X₁,X₂)ᵀ 与 Y=(Y₁,Y₂)ᵀ，已知各组内部协方差矩阵均为单位矩阵 I₂，两组之间的协方差矩阵为 ΣXY = [[0.6, 0.2], [0.2, 0.6]]。按典型相关分析的基本思想，在每组内构造标准化线性组合 U=aᵀX 与 V=bᵀY，使 Corr(U,V) 达到最大。请先写出第一对典型变量所满足的矩阵特征方程，并求第一典型相关系数 r₁ 与第二典型相关系数 r₂。
在双精度浮点环境（约16位有效十进制数字，运算按舍入到16位有效数字处理）下求解方程 x² − 2×10⁸ x + 1 = 0 的较小根（精确值约为 5×10⁻⁹）。算法甲按求根公式先计算判别式的平方根 D=√(b²−4ac)，再用 x=(b−D)/(2a) 求较小根；算法乙先计算同一个 D，再用等价公式 x=2c/(b+D) 求较小根。请分别写出两种算法在该浮点环境下所得的数值结果，并指出哪个结果可靠、说明另一算法失效的原因。
某服务系统的响应时间服从均值为4秒的指数分布。用蒙特卡洛方法模拟1000次响应时间：每次先生成独立的 U∼U(0,1)，再取 T=−4ln(U)。模拟结果中有218次响应时间不超过1秒。用模拟频率估计响应时间不超过1秒的概率，并说明该估计值的含义。
某环境监测指标的总体中位数为 θ，样本中位数估计为 θ̂ = 18.4 mg/L。进行自助重抽样后，误差 θ̂* − θ̂ 的 5% 与 95% 分位数分别为 −2.7 mg/L 和 4.1 mg/L。采用基本自助法构造 θ 的 90% 置信区间，写出区间端点。
某环境监测样本的总体中位数估计为 7.4。对样本进行 B=240 次自助重抽样，得到的中位数估计值从小到大排列为 θ̂*_(1)≤…≤θ̂*_(240)，其中 θ̂*_(12)=6.8，θ̂*_(228)=8.1。采用百分位数法，并取相应的顺序统计量构造 90% 自助置信区间。写出该置信区间。
设 f(x)=x²+2x+3，用梯度下降法求其极小点。取步长 α=1/2，初始点 x₀=0，迭代公式为 x_{k+1}=x_k − α·f′(x_k)，其中 f′(x)=2x+2。(1) 写出前两步的迭代值 x₁ 和 x₂。(2) 写出 x_k 的通项，并说明该迭代点列是否收敛；若收敛，给出极限。(3) 说明可用怎样的停止准则判断迭代已足够接近极小点，并举一个具体准则。
在连续状态空间上采用对称随机游走提议：给定当前状态 x，令候选状态 Y 在区间 [x−h,x+h] 上均匀分布。为控制提议步长，要求每次提议满足 |Y−x|≤750 米的概率恰为 3/5。已知 h>750 米，求提议半宽 h，以千米为单位。
设 {X(t), t∈R} 为弱平稳实随机过程，其自相关函数满足 R_X(0)=5、R_X(T)=−5，其中 T≠0。利用自相关函数的性质，计算 R_X(2T) 与 R_X(3T)。
在双精度浮点环境（约16位有效数字）下计算 f(x)=√(x+1)−√(x) 在 x=100000000（即10^8）处的值。算法甲直接按定义计算两根号之差；算法乙先有理化，改用 f(x)=1/(√(x+1)+√(x)) 计算。请回答：(1) 算法甲中两个被开方数仅相差1，各自平方根约为10000.00005与10000，直接相减大约损失多少位有效数字？(2) 用算法乙计算 f(100000000) 的稳定近似值（保留8位有效数字）。
某统计计算任务需要处理 n=100000 个样本。算法甲采用逐对比较策略，基本操作执行次数约为 n²/2；算法乙采用分块策略，基本操作执行次数约为 3n·log₂n。已知计算机每秒可执行 10⁸ 次基本操作。请估算：两算法所需运行时间各为多少秒（结果保留两位小数，取 log₂100000≈16.6），并指出哪种算法效率更高。
某统计实验室用蒙特卡洛模拟估计圆周率 π：在边长为 2 的正方形内随机撒 20000 个点，正方形内切单位圆的半径为 1，圆心与正方形中心重合。已知模拟结果中落入圆内的点数为 15712。请按例题方法，用落在圆内的点数占总点数的比例乘以正方形与圆的面积之比关系，计算 π 的模拟估计值（保留三位小数），并简要说明该估计值与真实值存在差异的原因。
设矩阵 A = [[1,1],[1,1],[1,-1]]（3×2），观测向量 b = (1,2,1)ᵀ。考虑线性模型 Aβ ≈ b 的最小二乘问题。(1) 求 A 的完全奇异值分解 A = UΣVᵀ（写出全部奇异值及 U、V 的列）；(2) 利用该 SVD 求 β̂ = argmin‖Aβ−b‖₂；(3) 求最小残差向量的 2-范数。
已知矩阵 A = [[1,2],[2,1]]（即第一行 (1,2)，第二行 (2,1)）。由于 A 是实对称矩阵，其特征值为 3 和 −1。求 A 的奇异值分解 A = UΣVᵀ，写出 U、Σ、V 的具体形式（奇异值按从大到小排列，Σ 为对角阵且对角元非负），并据此写出 A 的按秩-1 分裂表达式 A = 3u₁v₁ᵀ + 1·u₂v₂ᵀ 中各向量的坐标。
设原始样本为 x=(2,4,6,8)，n=4。对统计量 θ̂=x̄²（样本均值的平方）：(1) 若以原始样本为经验分布进行自助重抽样（每次有放回抽取4个观测），利用全部可能重样本精确计算 θ̂ 的自助偏差估计 bias_B = E*(θ̂*) − θ̂，其中 θ̂* 为重样本对应统计量；(2) 同时给出样本均值 x̄ 的自助标准误估计 se_B = √(Var*(x̄*)) 的精确值，并化简为最简根式。
用梯度下降法极小化二元函数 f(x,y)=x²+4y²，学习率（步长）取 α=1/5，迭代公式为 (xₖ₊₁,yₖ₊₁)=(xₖ,yₖ)−α∇f(xₖ,yₖ)。取初始点 (x₀,y₀)=(1,1)。（1）求前两步迭代点 (x₁,y₁) 与 (x₂,y₂)；（2）已知该函数 Hessian 矩阵为对角阵 diag(2,8)，请给出梯度下降法对该函数收敛时学习率 α 应满足的取值范围，并判断本题所取的 α=1/5 是否保证收敛。
设目标密度为 p(x) ∝ x·e^(−x)（x>0），采用独立提议分布 q(x′|x) = e^(−x′)（x′>0）的 Metropolis-Hastings 算法。链的当前状态为 x=3。(1) 写出该算法的接受概率 α(x, x′) 的一般表达式；(2) 若本步提议产生的候选点为 x′=1，计算接受概率的具体数值；(3) 若候选点为 x′=4，计算接受概率的具体数值，并说明该候选点是否被接受。