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设随机变量 T 服从参数为 1 的指数分布。某同学设计如下模拟实验：独立生成 n=5000 个均匀随机数 U₁,…,U₅₀₀₀∼U(0,1)，令 Tᵢ=−ln(Uᵢ)，统计满足 Tᵢ>1 的个数 m，并用 m/n 作为概率 P(T>1) 的估计值。若模拟结果中 m=1839，则该模拟给出的估计值为 ____（保留4位小数）；按指数分布理论，该估计所逼近的真实概率为 e^−1 ≈ ____（保留4位小数）。
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某物流公司研究包裹分拣批次数 x（批）与单日加班时长 y（小时）的关系，记录5组数据：(x,y) 分别为 (1,3)、(2,5)、(3,6)、(4,8)、(5,8)。假设一元线性回归模型 yᵢ=β₀+β₁xᵢ+εᵢ，误差独立且服从 N(0,σ²)。请用最小二乘法完成以下计算：(1) 求回归系数的估计值 β̂₀ 与 β̂₁；(2) 求残差平方和 SSE 与误差方差估计 σ̂²=SSE/(n-2)；(3) 检验 H₀: β₁=0 对 H₁: β₁≠0，计算 t 统计量（已知 t=β̂₁/√(σ̂²/∑(xᵢ-x̄)²)），取显著性水平 0.05，df=3 时临界值 t₀.₀₂₅=3.182，给出检验结论。
设 f(x)=x²+4x+5，其唯一极小点为 x*=−2。取初始点 x₀=1。（1）用固定步长 t=0.25 的梯度下降法迭代一步，得 x₁=____；（2）用牛顿法迭代一步，得 x₁=____；（3）一般地，梯度下降法在极小点附近的收敛速度为____收敛（填“线性”或“平方”）。
设目标函数 f(x)=2(x−1)²，用梯度下降法求其极小点，迭代公式为 x_{k+1}=x_k−αf′(x_k)，其中 f′(x)=4(x−1)。取固定步长 α=3/8，初始点 x₀=5，已知极小点 x*=1。以误差 e_k=|x_k−1| 度量收敛，停止准则为 e_k≤0.05。(1) 写出 e_k 与 e_{k−1} 的递推关系；(2) 求使停止准则首次满足的最小迭代次数 k。
设某系统相继检修间隔 X₁,X₂,… 独立同分布，X 取值 1 或 2，概率各为 1/2，检修完成后立即重新开始，{N(t), t≥0} 为对应的更新过程，m(t)=E[N(t)] 为更新函数。（1）写出 m(t) 满足的更新方程；（2）利用该方程逐段计算 m(1)、m(2)、m(3)。
某调查公司拟用简单随机抽样估计某城区居民使用某款手机应用的比例。根据预调查取总体比例 p=0.6，在95%置信水平下（取 z=2），要求估计值的绝对误差不超过 0.04，则至少需要抽取的样本量为多少？ A. 400 B. 480 C. 600 D. 960
为比较4种施肥方案对某作物产量的影响，进行单因素完全随机试验，每种方案重复5次。经方差分析得误差均方 MSE=6，误差自由度 df=16，四个处理的平均产量分别为 x̄₁=20、x̄₂=24、x̄₃=22、x̄₄=18（单位：kg）。取显著性水平 α=0.05，已知 F(0.05; 3, 16)=3.24。试用 Scheffé 法对所有处理均值作多重比较，判断哪些处理均值之间存在显著差异（列出显著差异的处理对）。
设平稳 AR(1) 模型 X_t = 0.5·X_{t-1} + ε_t，其中 {ε_t} 为零均值白噪声，方差 σ² = 8。已知 X_40 = 16。按最小均方误差准则求 X_42 的点预测值 X_40(2) = ____，该预测的预测误差方差为 ____，于是 X_42 的 95% 预测区间为 ( ____ , ____ )（取 z₀.₀₂₅ = 1.96，结果保留两位小数）。
设两组随机向量 X=(X₁,X₂)ᵀ 与 Y=(Y₁,Y₂)ᵀ，已知各组内部协方差矩阵均为单位矩阵 I₂，两组之间的协方差矩阵为 ΣXY = [[0.6, 0.2], [0.2, 0.6]]。按典型相关分析的基本思想，在每组内构造标准化线性组合 U=aᵀX 与 V=bᵀY，使 Corr(U,V) 达到最大。请先写出第一对典型变量所满足的矩阵特征方程，并求第一典型相关系数 r₁ 与第二典型相关系数 r₂。
在研究细菌培养时间 x 与菌量 y 的关系时，选用模型 y = a·x·e^(bx)（a>0, x>0）拟合。为将其化为线性回归形式，可对两边取自然对数并令 z = ln y − ln x，则 z 与 x 之间的线性关系为 z = ____（用 a、b 表示）。若由观测数据经最小二乘拟合得该线性方程的截距为 1.2、斜率为 0.8，则原模型中 a = ____（保留两位小数）、b = ____。
某环保研究所随机抽取6个监测点，记录空气中PM2.5日均浓度 x（微克/立方米）与当日能见度 y（公里），用最小二乘法拟合一元线性回归。已算得样本均值 x̄=60，ȳ=10，∑(xi−x̄)²=2400，∑(xi−x̄)(yi−ȳ)=−360。若现将能见度单位由公里改为米（1公里=1000米），PM2.5浓度单位保持不变，重新用最小二乘法拟合 y（米）对 x 的回归直线。求新回归直线的斜率，并指出该斜率的实际含义（含单位）？
设总体 X 的均值为 μ、方差为 σ²，X₁ 与 X₂ 为来自该总体的简单随机样本。定义三个估计量：T₁=X₁；T₂=(X₁+X₂)/2；T₃=2X₁−X₂。则下列结论正确的是： A. T₁ 是最有效的估计量 B. T₂ 是三个估计量中方差最小且无偏的估计量 C. T₃ 的期望为 μ，且方差为 σ²，故最有效 D. 三个估计量均有偏，无法比较有效性
某连锁便利店总部根据下属门店的样本数据，研究了门店所在商圈日均人流量与日销售额之间的关系，拟合出一元线性回归方程，估计标准误很小，说明方程对样本期内各门店的观测数据拟合良好，代表性高。样本中日均人流量的观测范围是 500 人次至 3000 人次。总部某位分析员据此认为：既然方程拟合如此好，那么直接用该方程预测一家日均人流量达 15000 人次的新开大型商圈门店的日销售额，其可靠性与样本范围内的预测完全相同。这种说法是否正确？请说明理由，并指出回归预测应遵循的限度。
某电商平台比较两种商品的日销量稳定性。甲商品日销量均值为120件，标准差为18件；乙商品日销量均值为50件，标准差为10件。由于两商品销量的平均水平不同，应比较离散系数，则甲商品的离散系数为____，乙商品的离散系数为0.2，离散系数较小的商品是____。
某电商平台随机抽取200名顾客的单次消费金额（元），分组资料如下：40～60元有28人，60～80元有52人，80～100元有66人，100～120元有34人，120～140元有20人。（1）按组距数列中位数公式估算顾客消费金额的中位数；（2）按组距数列众数公式估算其众数。请分别写出计算结果，并说明为什么不能直接取中间组的组限或组中值作为中位数？
某仓储中心分理货岗与打包岗两类岗位，理货岗员工人均日处理货件80件，打包岗员工人均日处理货件60件。经月度汇总，全体员工平均每人日处理货件68件。则理货岗员工人数占全体员工总数的比重为（ ） A. 30% B. 40% C. 50% D. 60%
某城市统计一批设备故障的修复时长，分布明显右偏：少数故障因零件短缺而耗时很长，且算术平均数大于中位数、中位数大于众数。管理者既要向居民报告一次故障通常需要等待多久，又要据此估计长期维修资源的平均占用时长。前一用途和后一用途分别宜选用什么平均指标？
某物流公司为改善员工福利，调查了80名员工的日单程通勤时间（分钟），分组资料如下：10～20分钟有10人，20～30分钟有18人，30～40分钟有26人，40～50分钟有16人，50～60分钟有10人。请分别用组距数列的插值公式估算该公司员工日单程通勤时间的中位数，并求出众数，然后回答：该公司员工通勤时间的中位数与众数各是多少分钟？
某统计计算任务中，模型为 y_t = θ + ε_t，ε_t = φ ε_{t-1} + η_t，η_t ~ N(0, σ²)，t=1,...,T，T=5000，|φ|<1，φ 未知。若直接构造 T×T 协方差矩阵 Σ 并求逆，计算与存储代价为 O(T³)。为高效计算 θ 的广义最小二乘估计，下列建模与算法选择中最合理的是： A. 先忽略相关性用 OLS 估计 θ，再将标准误乘以 T B. 先用 OLS 残差估计 φ，再对数据做 AR(1) 白化变换（首项乘 √(1-φ²)），对变换后数据做 OLS C. 对稠密 Σ 做 Cholesky 分解，复杂度 O(T³)，精度最高故必选 D. 用拒绝采样从后验 p(θ|y) 抽样，样本均值即为 GLS 估计
设马尔可夫链 {Xₙ} 的状态空间为 {1,2,3}，一步转移概率矩阵为 P = [[0, 1, 0], [1/4, 1/2, 1/4], [p, 0, 1-p]]，其中 0<p<1。若该链的平稳分布 π=(π₁,π₂,π₃) 满足 π₁=π₃，则 p 的值为（ ） A. 1/4 B. 1/3 C. 1/2 D. 2/3