大学结构化学上册《量子力学基础》练习题

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本单元考点（5 个）

波函数与Born统计诠释Schrödinger方程的一般形式算符与力学量的对应关系一维势箱中粒子的量子化能级态叠加原理与平均值计算

题目预览（5/29 题）

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1. 某微观体系处于归一化波函数 ψ = (1/2)φ₁ + (√2/2)φ₂ + (1/2)φ₃ 所描述的状态，其中 φ₁、φ₂、φ₃ 是哈密顿算符 Ĥ 的本征函数，对应本征值分别为 E₁=2、E₂=4、E₃=6（能量单位 a.u.），且 φ₁、φ₂、φ₃ 彼此正交。请依据算符与力学量的对应关系，写出能量力学量 Ĥ 在该状态下的平均值表达式，并计算其数值。

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2. 设某微观粒子处于一维空间区域 0<x<L 内，其归一化波函数为 ψ(x)=√(2/L)·sin(πx/L)；在区域外 ψ(x)=0。试求在区间 L/2≤x≤L 内发现该粒子的概率。

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3. 设微观粒子处于状态 Ψ(x,t)，按照波函数的Born统计诠释，|Ψ(x,t)|² 表示 ______；若粒子被限制在一维区域 0≤x≤L 内且波函数已归一化，则归一化条件的积分表达式为 ______。

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4. 粒子被限制在一维区间 0≤x≤L 内，波函数 ψ(x)=N·x(L−x)，在区间外 ψ=0。由归一化条件 ∫₀ᴸ |ψ(x)|² dx = 1 可确定常数 N = ____。由波函数的Born统计诠释，粒子出现在区间 [0, L/2] 内的概率为 ____（用分数表示）。

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5. 一维势场中质量为 m 的粒子，其定态 Schrödinger 方程的一般形式为：____ ψ(x) = Eψ(x)，其中哈密顿算符由动能算符与势能算符之和构成。请在空位处写出完整的方程左端表达式。

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