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在双精度浮点环境（约16位有效十进制数字，运算按舍入到16位有效数字处理）下求解方程 x² − 2×10⁸ x + 1 = 0 的较小根（精确值约为 5×10⁻⁹）。算法甲按求根公式先计算判别式的平方根 D=√(b²−4ac)，再用 x=(b−D)/(2a) 求较小根；算法乙先计算同一个 D，再用等价公式 x=2c/(b+D) 求较小根。请分别写出两种算法在该浮点环境下所得的数值结果，并指出哪个结果可靠、说明另一算法失效的原因。
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某调查站研究住房面积x（十平方米）与月租金y（百元）的关系，记录5组数据：(1,2)、(2,3)、(3,5)、(4,4)、(5,6)。假设一元线性回归模型 y=β₀+β₁x+ε 满足经典假定，用最小二乘法拟合，则回归系数 β₁ 的估计值为：A. 0.8 B. 0.9 C. 1.1 D. 1.2
某团队用简单线性回归评估设备运行时长x对能耗y的影响，模型为yᵢ=β₀+β₁xᵢ+εᵢ。假设x固定，误差独立且均服从N(0,σ²)。样本量n=8，Sₓₓ=∑(xᵢ−x̄)²=14，Sₓᵧ=∑(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ)=21，拟合残差平方和SSE=24。对H₀:β₁=0与H₁:β₁≠0作双侧检验，显著性水平0.05；已知t₀.₉₇₅,₆=2.447。检验统计量为____，据此应____H₀。
在双精度浮点环境（约16位有效数字）下计算 g(n)=n²·(1 − cos(1/n))，当 n=10⁸ 时。算法甲先算 cos(1/n) 再与 1 相减，最后乘 n²；算法乙先用恒等式 1 − cos(t) = 2·sin²(t/2)，再乘 n²。关于两算法所得结果的稳定性，以下叙述正确的是： A. 甲所得结果有效数字损失严重，乙所得结果稳定可靠 B. 甲与乙所得结果完全相同，均稳定可靠 C. 乙所得结果有效数字损失严重，甲所得结果稳定可靠 D. 甲与乙所得结果均严重失真，无法使用
某服务系统的响应时间服从均值为4秒的指数分布。用蒙特卡洛方法模拟1000次响应时间：每次先生成独立的 U∼U(0,1)，再取 T=−4ln(U)。模拟结果中有218次响应时间不超过1秒。用模拟频率估计响应时间不超过1秒的概率，并说明该估计值的含义。
某统计计算任务需处理 n=4096 个样本。算法甲的基本操作次数为 f(n)=3n²，算法乙的基本操作次数为 g(n)=100n·log₂n。运行时基本操作次数较小的算法更高效，则更高效的算法是____（填“甲”或“乙”）。
某传感器记录的读数都集中在一个很大的基准值附近，彼此差异很小。为计算这些读数的样本方差，算法甲先分别求读数平方的平均值与读数平均值的平方，再求两者之差；算法乙先减去读数平均值，再由偏差计算方差。关于数值结果稳定性，哪项判断最恰当？ A. 算法甲更稳定，因为平方运算能减小舍入误差 B. 算法乙通常更稳定，因为避免了两个大而接近的量相减 C. 两种算法稳定性必然相同，因为输入数据相同 D. 算法甲更稳定，因为计算中没有使用偏差
设矩阵 A = [[1,1],[1,-1],[1,0]]，其列向量线性无关，观测向量 b = (3,3,3)ᵀ。用 A 的 QR 分解（Q 的列经 Gram-Schmidt 正交化并单位化）求解最小二乘问题 min ‖b − Aβ‖₂，则残差向量 b − Aβ̂ 的 2-范数等于多少？ A. 0 B. √6 C. √3 D. 2
某统计计算任务需对 n=2048 个样本进行处理，可选两种算法：算法甲的基本操作执行次数为 f(n)=n²，算法乙的基本操作执行次数为 g(n)=4n·log₂n。经计算，log₂2048=11。则在 n=2048 时，算法乙比算法甲少执行的基本操作次数为____次。
某环境监测指标的总体中位数为 θ，样本中位数估计为 θ̂ = 18.4 mg/L。进行自助重抽样后，误差 θ̂* − θ̂ 的 5% 与 95% 分位数分别为 −2.7 mg/L 和 4.1 mg/L。采用基本自助法构造 θ 的 90% 置信区间，写出区间端点。
某环境监测样本的总体中位数估计为 7.4。对样本进行 B=240 次自助重抽样，得到的中位数估计值从小到大排列为 θ̂*_(1)≤…≤θ̂*_(240)，其中 θ̂*_(12)=6.8，θ̂*_(228)=8.1。采用百分位数法，并取相应的顺序统计量构造 90% 自助置信区间。写出该置信区间。
某随机交叉试验有3名受试者，定义每人的差值为“处理A结果−处理B结果”，观测差值依次为1、2、4。检验处理效应为零时，在零假设下对每对结果独立交换A、B标签，以差值均值为统计量，枚举全部标签交换方式。双侧精确置换检验的p值为多少？ A. 1/8 B. 1/4 C. 3/8 D. 1/2
设 f(x)=x²+2x+3，用梯度下降法求其极小点。取步长 α=1/2，初始点 x₀=0，迭代公式为 x_{k+1}=x_k − α·f′(x_k)，其中 f′(x)=2x+2。(1) 写出前两步的迭代值 x₁ 和 x₂。(2) 写出 x_k 的通项，并说明该迭代点列是否收敛；若收敛，给出极限。(3) 说明可用怎样的停止准则判断迭代已足够接近极小点，并举一个具体准则。
在 Metropolis-Hastings 算法中，当前状态 x=1，目标分布为 p(x) ∝ e^(−x²/2)（x∈R），提议分布为 q(x′|x) ∝ e^(−(x′−x)²/2)。由提议分布产生候选点 x′=2。已知接受概率 α(x, x′) = min{1, [p(x′)q(x|x′)] / [p(x)q(x′|x)]}，则本次接受概率 α(1, 2) 的值精确为下列哪一项？ A. e^(−3/2) B. e^(−2) C. e^(−3) D. 1
在连续状态空间上采用对称随机游走提议：给定当前状态 x，令候选状态 Y 在区间 [x−h,x+h] 上均匀分布。为控制提议步长，要求每次提议满足 |Y−x|≤750 米的概率恰为 3/5。已知 h>750 米，求提议半宽 h，以千米为单位。
设 {X(t), t∈R} 为弱平稳实随机过程，其自相关函数满足 R_X(0)=5、R_X(T)=−5，其中 T≠0。利用自相关函数的性质，计算 R_X(2T) 与 R_X(3T)。
某两状态马尔可夫链的转移矩阵为 P=[[3/4,1/4],[1/2,1/2]]。若初始状态任意，经过足够长时间后处于状态1的概率趋于多少？ A. 1/3 B. 1/2 C. 2/3 D. 3/4
用蒙特卡洛积分估计 I=∫₀¹ (x+1)dx。若采用重要性抽样：从密度为 g(x)=2x（0<x<1，否则为0）的分布中抽取相互独立的随机数 X₁,…,Xₙ，则基于这组样本的蒙特卡洛估计量应为（ ） A. Î=(1/n)∑ᵢ Xᵢ B. Î=(1/n)∑ᵢ (Xᵢ+1)/(2Xᵢ) C. Î=(1/n)∑ᵢ (Xᵢ+1)·2Xᵢ D. Î=(1/n)∑ᵢ (Xᵢ+1)/Xᵢ
在双精度浮点环境（约16位有效数字）下计算 f(x)=√(x+1)−√(x) 在 x=100000000（即10^8）处的值。算法甲直接按定义计算两根号之差；算法乙先有理化，改用 f(x)=1/(√(x+1)+√(x)) 计算。请回答：(1) 算法甲中两个被开方数仅相差1，各自平方根约为10000.00005与10000，直接相减大约损失多少位有效数字？(2) 用算法乙计算 f(100000000) 的稳定近似值（保留8位有效数字）。
考虑三个数据：x₁=10⁷, x₂=10⁷+1, x₃=10⁷+2。在7位有效十进制浮点环境下，三数舍入后无法区分，用离差平方和公式计算所得样本方差为____；而其实际真值（按样本方差、除以n-1计算）为1。此现象说明当数据均值远大于波动幅度时，该算法的数值结果不稳定。