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设随机变量 T 服从参数为 1 的指数分布。某同学设计如下模拟实验：独立生成 n=5000 个均匀随机数 U₁,…,U₅₀₀₀∼U(0,1)，令 Tᵢ=−ln(Uᵢ)，统计满足 Tᵢ>1 的个数 m，并用 m/n 作为概率 P(T>1) 的估计值。若模拟结果中 m=1839，则该模拟给出的估计值为 ____（保留4位小数）；按指数分布理论，该估计所逼近的真实概率为 e^−1 ≈ ____（保留4位小数）。
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设 f(x)=x²+4x+5，其唯一极小点为 x*=−2。取初始点 x₀=1。（1）用固定步长 t=0.25 的梯度下降法迭代一步，得 x₁=____；（2）用牛顿法迭代一步，得 x₁=____；（3）一般地，梯度下降法在极小点附近的收敛速度为____收敛（填“线性”或“平方”）。
设平稳 AR(1) 模型 X_t = 0.5·X_{t-1} + ε_t，其中 {ε_t} 为零均值白噪声，方差 σ² = 8。已知 X_40 = 16。按最小均方误差准则求 X_42 的点预测值 X_40(2) = ____，该预测的预测误差方差为 ____，于是 X_42 的 95% 预测区间为 ( ____ , ____ )（取 z₀.₀₂₅ = 1.96，结果保留两位小数）。
在研究细菌培养时间 x 与菌量 y 的关系时，选用模型 y = a·x·e^(bx)（a>0, x>0）拟合。为将其化为线性回归形式，可对两边取自然对数并令 z = ln y − ln x，则 z 与 x 之间的线性关系为 z = ____（用 a、b 表示）。若由观测数据经最小二乘拟合得该线性方程的截距为 1.2、斜率为 0.8，则原模型中 a = ____（保留两位小数）、b = ____。
某电商平台比较两种商品的日销量稳定性。甲商品日销量均值为120件，标准差为18件；乙商品日销量均值为50件，标准差为10件。由于两商品销量的平均水平不同，应比较离散系数，则甲商品的离散系数为____，乙商品的离散系数为0.2，离散系数较小的商品是____。
某团队用简单线性回归评估设备运行时长x对能耗y的影响，模型为yᵢ=β₀+β₁xᵢ+εᵢ。假设x固定，误差独立且均服从N(0,σ²)。样本量n=8，Sₓₓ=∑(xᵢ−x̄)²=14，Sₓᵧ=∑(xᵢ−x̄)(yᵢ−ȳ)=21，拟合残差平方和SSE=24。对H₀:β₁=0与H₁:β₁≠0作双侧检验，显著性水平0.05；已知t₀.₉₇₅,₆=2.447。检验统计量为____，据此应____H₀。
某统计计算任务需处理 n=4096 个样本。算法甲的基本操作次数为 f(n)=3n²，算法乙的基本操作次数为 g(n)=100n·log₂n。运行时基本操作次数较小的算法更高效，则更高效的算法是____（填“甲”或“乙”）。
某统计计算任务需对 n=2048 个样本进行处理，可选两种算法：算法甲的基本操作执行次数为 f(n)=n²，算法乙的基本操作执行次数为 g(n)=4n·log₂n。经计算，log₂2048=11。则在 n=2048 时，算法乙比算法甲少执行的基本操作次数为____次。
考虑三个数据：x₁=10⁷, x₂=10⁷+1, x₃=10⁷+2。在7位有效十进制浮点环境下，三数舍入后无法区分，用离差平方和公式计算所得样本方差为____；而其实际真值（按样本方差、除以n-1计算）为1。此现象说明当数据均值远大于波动幅度时，该算法的数值结果不稳定。
已知设计矩阵 A = [1, v]，其中 1 = (1,1,1)^T，v = (1,2,3)^T，观测向量 b = (2,1,2)^T。对 A 作 Gram-Schmidt 正交化得 Q = [u₁, u₂]，其中 u₁ = (1,1,1)^T/√3，u₂ = (−1,0,1)^T/√2。利用 Q 的列正交性求最小二乘解 β̂ = (β̂₁, β̂₂)^T，则 β̂₁ = ____，β̂₂ = ____，残差平方和 ||b − Aβ̂||² = ____。
设样本 x₁,x₂,x₃,x₄ = 3,6,9,12，样本均值为 θ̂。对该样本使用删除一法的 Jackknife 方法估计样本均值的标准误：依次每次删去一个观测，计算四个删除一后样本的均值 θ̄₍ᵢ₎，再求其平均 θ̄₍·₎ = (1/4)∑θ̄₍ᵢ₎，最后代入公式 se_Jack = √((3/4)∑(θ̄₍ᵢ₎ − θ̄₍·₎)²)。则四个删除一后均值之和 ∑θ̄₍ᵢ₎ = ____，Jackknife 标准误 se_Jack = √15/____。
设样本 x₁,…,x₆ = 3,5,7,9,11,13。对该样本使用删除一法的 Jackknife 方法估计样本均值的 Jackknife 标准误：依次每次删去一个观测值，计算伪值 pseudoᵢ = n·x̄ − (n−1)·x̄₍ᵢ₎（其中 x̄ 为全样本均值，x̄₍ᵢ₎ 为删去第 i 个观测后的样本均值），再以伪值样本的标准误（伪值标准差除以 √n，标准差用 n−1 作分母）作为估计值。则该 Jackknife 标准误为 ____（结果化简为最简根式并给出保留三位小数的近似值）。
设 U₁, U₂ 为相互独立的 U(0,1) 均匀随机数，取 U₁ = 1/4，U₂ = 3/8。按 Box-Muller 变换生成标准正态随机数：Z₁ = √(-2 ln U₁)·cos(2π U₂)，Z₂ = √(-2 ln U₁)·sin(2π U₂)。则 Z₁ = ____（用精确表达式 -√(2 ln 2) 或保留两位小数填写）。
设 {X(t), t≥0} 为均方连续的宽平稳过程，均值为 m，自协方差函数 R(τ)=e^(−2τ)cos(3τ)（τ≥0）。已知宽平稳过程具有均值遍历性的一个充分条件是自协方差函数在 [0,∞) 上____（填写：绝对可积 或 不绝对可积），此时时间平均 (1/T)∫₀ᵀ X(t)dt 均方收敛于____。
用蒙特卡洛方法估计积分 I=∫₀¹ e^x dx。方法一直接抽样：估计量为 X=e^U，其中 U 服从 [0,1] 上的均匀分布；方法二采用对偶变量法：生成 U 后同时计算 Y₁=e^U 与 Y₂=e^(1−U)，取估计量 T=(Y₁+Y₂)/2。已知 Var(e^U)=(e²−1)/2−(e−1)²，Cov(Y₁,Y₂)=e−(e−1)²，且 Var(T)=[Var(e^U)+Cov(Y₁,Y₂)]/2。则对偶估计量 T 的方差 Var(T)=____（保留 4 位小数），方法二相对于方法一的方差缩减倍数 Var(e^U)/Var(T) 约为____（保留整数）。
用蒙特卡洛方法近似积分 I=∫₀¹ √x dx。设 U~Uniform(0,1)，取单样本估计量 X̂=√U。则 E(X̂)=____，Var(X̂)=____（保留4位小数）。若用 n 个独立样本的平均值作为估计量，由大数定律，估计量依概率收敛于 I，其标准误按数量级随 n 增大以 O(____) 的速度减小。
设 U₁, U₂ 为相互独立的 U(0,1) 均匀随机数，取 U₁ = e^(-1)，U₂ = 1/12。用 Box-Muller 变换生成标准正态随机数：Z = √(-2·ln U₁)·cos(2π·U₂)。则由此得到的 Z 的值为 ____。
设 X₁,X₂,… 独立同分布，P(Xᵢ=2)=1/3，P(Xᵢ=1/2)=2/3，令 Mₙ=X₁X₂…Xₙ（约定 M₀=1），{Mₙ} 关于自然 σ-域流是鞅且 E[Mₙ]=1。由鞅收敛定理，Mₙ 几乎必然收敛到某个极限 M∞。提示：对 ln Mₙ = ∑ln Xᵢ 用强大数定律，可得 lim(n→∞) (1/n)ln Mₙ = E[ln X₁] < 0。据此，M∞ = ____。
设原样本为 x=(3,5,7)，样本均值为5。现进行4次自助重抽样，得到重样本 (3,5,7)、(5,5,7)、(3,3,5)、(7,7,3)。记各重样本均值为 θ̂*₁,…,θ̂*₄。用这4个自助均值估计样本均值的标准误与偏差：自助标准误 sê_boot = √91/12 ≈ ____（保留3位小数），自助偏差 biaŝ_boot = ____（用分数表示）。
设 f(x)=x²，初始点 x₀=2，极小点为 x*=0。用固定步长 t=1/4 的梯度下降法迭代，得 x₁=____；用牛顿法迭代一步得 x₁=____。梯度下降法迭代中满足 |x_k−x*|≤0.1 所需的最少迭代次数 k=____，而牛顿法仅需 ____ 次迭代即达同样精度，故本题中收敛更快的是____法。