大学实变函数（大学通用）上册《可测函数》练习题

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本单元考点（5 个）

可测函数的定义可测函数的运算性质简单函数与逼近几乎处处收敛与依测度收敛Egorov定理

题目预览（5/9 题）

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1. 设 m(E)<∞，{f_n} 是 E 上几乎处处收敛于有限函数 f 的可测函数列，则由 Egorov 定理可得下列哪一结论？ A. 对任意 δ>0，存在可测子集 E_δ⊂E，使 m(E−E_δ)<δ，且 {f_n} 在 E_δ 上一致收敛于 f B. {f_n} 在 E 上必一致收敛于 f C. {f_n} 在 E 上处处收敛于 f D. 存在可测子集 E_δ⊂E，使 m(E−E_δ)<δ，且 {f_n} 在 E_δ 上不收敛于 f

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2. 设 E 为可测集，f(x) = χ_[0,1](x) + 2χ_(1,3](x) 是 E = [0,3] 上的函数。下列关于 f 的说法正确的是（　） A. f 是 E 上的简单函数，其标准表示为 f = 1·χ_[0,1] + 2·χ_(1,3] B. f 在 E 上不可测，因为它取两个不同值 C. f 不能表示为有限个特征函数的线性组合 D. f 在 E 上处处等于 1

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3. 设 f(x)=1/2, x∈[0,1)；f(x)=3, x∈[1,2]，则 f 可表示为简单函数 (1/2)χ_[0,1) + c·χ_[1,2]，其中系数 c 及 f 的系数之和分别为（） A. c=3，系数之和为 7/2 B. c=3，系数之和为 3 C. c=5/2，系数之和为 3 D. c=1/2，系数之和为 1

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4. 设 E 为 R 上的可测集，f 是定义在 E 上的实值函数。下列关于可测函数定义的叙述中，正确的是（　） A. 若 f 在 E 上连续，则 f 必不是可测函数 B. 若 f 在 E 上仅取有限个不同的值，则 f 必是 E 上的可测函数 C. f 是 E 上的可测函数当且仅当对任意实数 a，集合 {x∈E: f(x)=a} 是可测集 D. f 是 E 上的可测函数当且仅当对任意实数 a，集合 {x∈E: f(x)>a} 是可测集

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5. 设 E 是 R 中的可测集，f 是定义在 E 上的实值函数。按可测函数的定义，下列叙述正确的是（　） A. 对任意实数 a，集合 {x∈E：f(x)＞a} 都是可测集，则 f 是 E 上的可测函数 B. 对任意实数 a，集合 {x∈E：f(x)＜a} 都不可测，f 才是可测函数 C. f 是可测函数当且仅当 {x∈E：f(x)＝a} 对每个实数 a 都是可测集 D. f 是可测函数当且仅当 f 在 E 上处处连续

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