大学实变函数（大学通用）上册《Lebesgue积分》练习题

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本单元考点（4 个）

非负可测函数的积分积分的线性性质可积函数与积分的性质Lebesgue积分与Riemann积分的关系

题目预览（5/9 题）

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1. 设 f(x) 为 [0,1] 上的非负可测函数，且 f(x)=2 当 x 为有理数，f(x)=3 当 x 为无理数。记简单函数 g(x)=2 在 [0,1] 上恒成立。下列结论正确的是： A. ∫f dm = 2，因为 f 与 g 几乎处处相等 B. ∫f dm = 3，因为无理数集测度为 1 C. ∫f dm = 5/2，即有理数与无理数取值的算术平均 D. ∫f dm 不存在，因为 f 在 [0,1] 上处处不连续

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2. 设 f(x)=x² 在区间 [0,1] 上有定义，则下列关于 f 在 [0,1] 上的积分的说法正确的是（　） A. f 在 [0,1] 上的 Lebesgue 积分存在，且等于其 Riemann 积分值 1/3 B. f 在 [0,1] 上的 Lebesgue 积分不存在 C. f 在 [0,1] 上的 Lebesgue 积分存在，但不等于 Riemann 积分 D. f 在 [0,1] 上 Riemann 可积但 Lebesgue 不可积

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3. 设 f(x) 是 E=[0,1] 上的非负可测函数，且 ∫₀¹ f(x)dx = 0，则下列结论正确的是（　） A. f(x) 在 [0,1] 上几乎处处等于 0 B. f(x) 在 [0,1] 上处处等于 0 C. f(x) 在 [0,1] 上不几乎处处等于 0 D. 无法确定 f(x) 是否几乎处处等于 0

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4. 设 f(x) 在 [0,1] 上定义为：当 0≤x≤1/2 时 f(x)=x；当 1/2<x≤1 时 f(x)=2。按 Lebesgue 积分理论，非负可测函数积分 ∫[0,1] f dm 的值为（　） A. 1/8　B. 9/8　C. 2　D. 17/8

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5. 设可测函数 f 在 E 上 Lebesgue 可积，且 ∫_E f dx = 3。记 g(x) = 2f(x)，则 ∫_E g dx 等于多少？ A. 3 B. 5 C. 6 D. 9

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