大学拓扑学（大学通用）上册《网与滤子》练习题

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本单元考点（5 个）

网的定义与有向集网的收敛与极限点子网与聚点滤子与滤子收敛超滤子及其性质

题目预览（5/18 题）

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1. 设 X 为非空集合，F 是 X 上的一个滤子。下列关于滤子收敛的表述正确的是：若 X 上取离散拓扑，滤子 F 收敛于点 x ∈ X，则（　　） A. 存在 A ∈ F 使得 {x} ⊆ A 且 A 含有异于 x 的点 B. 每个 x 的邻域都属于 F，特别地 {x} ∈ F C. F 必等于 X 的全体子集构成的幂集 D. F 收敛于 x 当且仅当 F 中每个成员都包含于 {x} E. 以上都不对

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2. 设 (xₙ) 为 R 中网（按通常的自然数方向），xₙ = (−1)ⁿ。则 −1 是该网的一个____（填“聚点”或“非聚点”），因为子网 x₂ₖ₋₁ = ____ 收敛于 −1。

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3. 设 X={1,2,3,4}，U 是 X 上的一个超滤子，且 {1,2}∈U，{2,3}∈U。则有限集上每个超滤子都是主超滤子，故存在唯一点 x∈X 使得 U={A⊆X : x∈A}。这个点 x=____

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4. 设 D = ℕ×ℕ，定义其上的二元关系 ≤ 为：(m,n) ≤ (m′,n′) 当且仅当 m ≤ m′ 且 n ≤ n′。则 (D, ≤) 是有向集（任两元素存在公共上界）。定义网 x: D → ℝ 为 x_(m,n) = 1/m + 1/n，则该网在通常拓扑下收敛，其极限为 ____。

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5. 设 (xₙ) 为 R 中按自然数方向 n∈N 的网，其中 xₙ = (−1)ⁿ · n/(n+1)。已知 R 中网的聚点集合等于其所有收敛子网的极限构成的集合，且网 (xₙ) 的每个子网都由某收敛子列诱导。则该网全体聚点构成的集合为 ____（写成集合形式），故其聚点个数为 ___。

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