大学多元统计分析上册《多元线性回归》练习题

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本单元考点（6 个）

多元线性回归模型及基本假设最小二乘参数估计回归方程的显著性检验（F检验）回归系数的显著性检验（t检验）多重共线性诊断变量选择与逐步回归

题目预览（5/27 题）

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1. 某研究采用逐步回归法建立 y 关于 x₁、x₂、x₃ 的回归方程，规定引入变量的显著性门槛为 F_进=4.00，剔除门槛为 F_出=3.50。已知：仅含各单个变量的一元回归中，F(x₁)=6.5，F(x₂)=8.2，F(x₃)=3.1；在已含 x₂ 的模型中，再加入各变量的偏 F 值为 F(x₁|x₂)=5.1，F(x₃|x₂)=2.7；在已含 x₁、x₂ 的模型中，F(x₃|x₁,x₂)=2.5，且 x₂、x₁ 的偏 F 值分别为 9.0 与 5.1。按逐步回归规则，最终入选方程的变量集合是（　　） A. x₂ B. x₁、x₂ C. x₁、x₂、x₃ D. x₁、x₃

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2. 在含4个自变量的多元线性回归模型中，通过辅助回归分别得到：x₁ 对其余自变量的判定系数 R₁²=0.9，x₂ 的 R₂²=0.75，x₃ 的 R₃²=0.8，x₄ 的 R₄²=0.6。以方差膨胀因子 VIF=1/(1−R²) 作为共线性诊断指标，通常认为 VIF>10 时存在严重多重共线性。据此判断，多重共线性最严重的变量是____，其 VIF 值为____。

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3. 某研究建立 y 关于 x₁、x₂、x₃ 的多元线性回归模型，采用逐步回归法（引入变量的 F 临界值为 4，剔除变量的 F 临界值为 3）。第一步各变量的一元回归 F 值分别为：x₁ 为 12.5，x₂ 为 8.1，x₃ 为 5.2；在已含 x₁ 的模型中，引入 x₂、x₃ 的偏 F 值分别为 3.2 与 6.7；在已含 x₁、x₃ 的模型中，x₂ 的偏 F 值为 1.9。则最终保留在回归方程中的变量集合为 ____。

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4. 某研究组研究某种合金的抗拉强度 y（单位：MPa）与碳含量 x₁、锰含量 x₂ 的关系，建立二元线性回归模型 y=β₀+β₁x₁+β₂x₂+ε，样本容量 n=18。由样本算得回归系数的估计值 b₁=2.4，b₂=−1.2，其对应的标准误分别为 SE(b₁)=0.8，SE(b₂)=0.6。取显著性水平 α=0.05，已知自由度为 15 的 t 分布双侧临界值为 t₀.₀₂₅(15)=2.131。（1）写出检验回归系数 β₁ 的统计量 t₁ 的值并判断 x₁ 是否显著；（2）写出检验回归系数 β₂ 的统计量 t₂ 的值并判断 x₂ 是否显著。

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5. 设多元线性回归模型 y = β₀ + β₁x₁ + β₂x₂ + ε，取得 4 组观测数据如下：(x₁, x₂, y) 依次为 (−1, −1, 3)、(−1, 1, 5)、(1, −1, 7)、(1, 1, 9)。试用最小二乘法求回归系数 β₀、β₁、β₂ 的估计值。

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