大学线性代数（大学通用）上册《二次型》练习题

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本单元考点（3 个）

二次型及其矩阵表示化二次型为标准形正定二次型的判定

题目预览（5/18 题）

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1. 用正交变换 x=Qy 将实二次型 f=x₁²+2x₂²+2x₁x₂ 化为标准形，则下列说法正确的是 A. 所得标准形为 y₁²+3y₂²，且 Q 既是正交矩阵又是对称矩阵 B. 标准形中的系数是矩阵 A 的特征值，该变换保持二次型对应的图形形状与大小不变 C. 若改用配方法得到标准形，则其系数也必为 A 的特征值 D. 正交变换法与配方法所得标准形的正惯性指数可能不同

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2. 设实二次型 f(x₁,x₂,x₃)=2x₁x₂+2x₁x₃+2x₂x₃，则用正交变换 x=Qy 将 f 化为标准形，所得标准形为（　） A. 2y₁²−y₂²−y₃² B. y₁²+y₂²+y₃² C. 2y₁²+y₂²−y₃² D. y₁²−y₂²−y₃²

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3. 设二次型 f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂+2x₂x₃，其矩阵为 A=[[1,1,0],[1,2,1],[0,1,3]]。下列关于该二次型正定性的判断，正确的是 A. 正定，因为各顺序主子式 1、1、2 全大于零 B. 不正定，因为行列式不等于顺序主子式之和 C. 正定，因为矩阵各行元素之和均为正数 D. 无法判定，因为未求出全部特征值

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4. 用配方法将二次型 f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+4x₁x₂+4x₂x₃ 化为标准形（要求按 x₁、x₂、x₃ 的顺序依次配方），则所得标准形为 ____。

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5. 二次型 f(x₁,x₂,x₃)=2x₁²−3x₂²+x₃²−4x₁x₂+6x₁x₃+2x₂x₃ 的矩阵为（　） A. [[2,−4,6],[−4,−3,2],[6,2,1]] B. [[2,−2,3],[−2,−3,1],[3,1,1]] C. [[2,−2,6],[−2,−3,2],[6,2,1]] D. [[2,−4,3],[−4,−3,1],[3,1,1]]

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