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用重要性采样估计 I=∫₀¹ x² dx，其中样本来自均匀分布 U(0,1)。根据最优重要性采样分布理论，应选取的概率密度 g(x) 是（ ）。A. g(x)=1，即仍用均匀分布 B. g(x)=2x C. g(x)=3x² D. g(x)=3x
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设 Z 服从标准正态分布 N(0,1)，密度 φ(z)=（1/√(2π)）·e^(−z²/2)。为估计稀有概率 P(Z>2)，改从 N(1,1) 抽样（密度 q(z)=（1/√(2π)）·e^(−(z−1)²/2)），重要性采样估计量为 Î=(1/n)∑ φ(Zᵢ)/q(Zᵢ)·1{Zᵢ>2}。现从 q 中抽得一个样本 z=3，则该样本对估计量的单个贡献值为多少？ A. e^(−2.5)≈0.0821 B. e^(−0.5)≈0.6065 C. e^(−2)≈0.1353 D. 1（因为 z=3>2 指示函数取 1）
用对偶变量法估计积分 I=∫₀¹ e^x dx。方法一为朴素蒙特卡洛，估计量为 f(U)=e^U，U 服从 [0,1] 上的均匀分布；方法二取对偶样本对，估计量为 T=(e^U+e^(1-U))/2。下列说法正确的是（ ） A. Var(T) > Var(f(U))，对偶变量法增大了方差 B. Var(T) ≤ Var(f(U))，因为 f(U) 与 f(1-U) 正相关，取平均可缩减方差 C. Var(T) ≤ Var(f(U))，因为 f(U) 与 f(1-U) 负相关，取平均可缩减方差 D. 两种估计量的方差必定相等
设 {B(t), t≥0} 为标准布朗运动，B(0)=0。对区间 [0,1] 取非均匀分割，分点为 tᵢ=(i/n)²（i=0,1,…,n），记二次变差部分和 Vₙ=∑ᵢ₌₁ⁿ [B(tᵢ)−B(tᵢ₋₁)]²。当 n→∞ 时，Vₙ 依概率收敛于（ ）。 A. 0 B. 1 C. 2 D. ∞
设 {B(t): t≥0} 为标准布朗运动，令 X = B(7)，Y = B(9) − B(3)，则 Cov(X,Y) 等于多少？ A. 3 B. 4 C. 7 D. 9
设观测数据的对数似然为 ℓ(θ)，完全数据对数似然的期望为 Q(θ, θ^(t))。某同学用EM算法迭代估计含隐变量的混合模型，记 ℓ(θ^(t)) 为第 t 次迭代后的对数似然值。关于EM算法的收敛性质，下列说法正确的是：A. 每次迭代后 ℓ(θ^(t)) 严格递增，因此必收敛到全局最大值点 B. 每次迭代后 ℓ(θ^(t)) 单调不减，算法必收敛到似然函数的驻点，但不保证是全局最大值点 C. ℓ(θ^(t)) 可能下降，只要 Q(θ, θ^(t)) 增加即可 D. 算法收敛速度与初始值的选取完全无关
设隐变量 z∈{0,1}，先验 P(z=1)=π。在观测数据 x 已知时，EM 算法第 t 步 E 步算得后验概率 P(z=1|x)=0.8。已知完全数据对数似然中与参数 θ 有关的部分为 ℓ_c(θ)=z·log(1+θ)+(1−z)·log(3−θ)，其中 0<θ<1。则第 t 步的 Q 函数中 θ 的系数结构及 M 步更新 θ^(t+1) 为（ ） A. Q(θ)=0.8·log(1+θ)+0.2·log(3−θ)，θ^(t+1)=−0.4 B. Q(θ)=0.8·log(1+θ)+0.2·log(3−θ)，θ^(t+1)=0.4 C. Q(θ)=π·log(1+θ)+(1−π)·log(3−θ)，θ^(t+1)=1−π D. Q(θ)=0.8·log(1+θ)+0.8·log(3−θ)，θ^(t+1)=0.5
用梯度下降法极小化 f(x)=(x−2)²。已知从初始点 x₀=0 出发，第一步迭代得 x₁=1，第二步迭代得 x₂=3/2。由此可知所用的学习率（步长）α 的值，并按同一学习率继续迭代一次，得到的 x₃ 为多少？ A. 5/4 B. 7/4 C. 9/4 D. 11/8
对标准正态目标分布 N(0,1) 使用随机游走 Metropolis-Hastings 采样，提议分布为 N(0, σ²)。已知此时平均接受率的闭式公式为 α(σ)=2Φ(−σ/2)，其中 Φ 为标准正态分布函数。理论分析表明 α 接近 0.44 时采样效率最高。设 Φ(−0.25)=0.401，Φ(−0.5)=0.309，Φ(−0.75)=0.227，Φ(−1.0)=0.159。若在 σ=0.5、σ=1.0、σ=1.5、σ=2.0 四个候选中选一个使 α(σ) 最接近 0.44，应选哪个？ A. σ=0.5 B. σ=1.0 C. σ=1.5 D. σ=2.0
设马尔可夫链的状态空间为 {1, 2}，一步转移矩阵为 P = [[0.5, 0.5], [0.6, 0.4]]。关于该链的下列说法，正确的是：A. 该链可约且周期为 2 B. 该链不可约、非周期且正常返，从而遍历 C. 该链不可约但周期为 2 D. 该链不可约但非常返
某总体分为两层：第一层权重 W₁=1/2，层内标准差 σ₁=2；第二层权重 W₂=1/2，层内标准差 σ₂=4。采用分层采样估计总体均值，总样本量 n=60，并按 Neyman 最优分配确定各层样本量 n₁、n₂（即 nₕ 与 Wₕσₕ 成正比）。求最优分配下方差估计量 Var = Σ Wₕ²σₕ²/nₕ 的值。 A. 0.30 B. 0.167 C. 0.15 D. 0.10
设 {N(t), t≥0} 为更新过程，更新间隔 X₁, X₂, … 独立同分布且每个 Xᵢ 恒等于 3（退化分布）。记 A(t) 为时刻 t 的年龄（即 t 与最近一次更新时刻之差），γ(t) 为时刻 t 的剩余寿命（即从 t 到下一次更新所需的时间）。若在时刻 t=10 观察当前更新周期，则 (A(10), γ(10)) 等于（ ） A. (1, 2) B. (2, 1) C. (0, 3) D. (3, 0)
设 {B(t), t≥0} 为标准布朗运动，考察下列四个过程： 甲：X(t)=2B(t/4)；乙：X(t)=B(t/2)；丙：X(t)=B(t)+t；丁：X(t)=B(2t)。 其中仍为标准布朗运动的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
设连续时间马尔可夫链的状态空间为 {1,2,3}，转移概率函数为 p_ij(t)，其 Q 矩阵为 Q=(q_ij)。已知 p₂₁'(0)=3，p₂₃'(0)=2，且过程在状态 2 的逗留时间服从参数为 5 的指数分布，则 p₂₂'(0) 等于多少？ A. 5 B. -5 C. -3 D. -2
某学生用蒙特卡洛法估计积分 I=∫₀¹ eˣ dx。他抽取均匀分布样本 U₁=0.2, U₂=0.4, U₃=0.6, U₄=0.8，以 I 的估计量为 Î=(1/4)∑ᵢ e^{Uᵢ}。已知 e^0.2≈1.221，e^0.4≈1.492，e^0.6≈1.822，e^0.8≈2.226。若以样本标准差除以 √n 作为 Î 的标准误估计，则该标准误的值最接近多少？ A. 0.065 B. 0.217 C. 0.433 D. 0.867
设马尔可夫链 {Xₙ, n≥0} 的状态空间为 {1,2,3,4,5}，一步转移概率为：p₁₂=1；p₂₁=3/4，p₂₃=1/4；p₃₂=1/2，p₃₄=1/2；p₄₃=1；p₅₄=1/3，p₅₅=2/3。下列关于状态常返与瞬过分类的结论正确的是： A. 状态1是瞬过状态，因为从1出发到达2后以概率3/4回到1，且概率小于1 B. 状态1、2、3、4都是常返状态，状态5是瞬过状态 C. 状态5是常返状态，因为它有自环概率p₅₅=2/3 D. 状态3是瞬过状态，因为它以概率1/2可转移到状态4
设某元件的寿命服从参数 λ=1/2 的指数分布，{N(t), t≥0} 为对应的更新过程，m(t)=E[N(t)] 为更新函数。若已知该元件的平均寿命为 2（单位：小时），则在区间 [0, 10]（单位：小时）内期望的更新次数 m(10) 等于多少？ A. 2 B. 4 C. 5 D. 10
某仓库货物到达次数 N(t) 是强度 λ=2（件/小时）的泊松过程，X₁, X₂, … 为相互独立的到达时间间隔。记 T = X₂ + X₃，即第 3 件货物相对于第 1 件货物的到达时刻，则概率 P(T > 1) 等于 A. 3e^(-2) B. e^(-2) C. 5e^(-2) D. 1 - 3e^(-2)
设保险索赔次数 {N(t), t≥0} 是强度 λ=4（件/小时）的泊松过程，第 i 次索赔额 Xᵢ 相互独立同分布，与 {N(t)} 独立，且 P(Xᵢ=2)=1/4，P(Xᵢ=5)=3/4。记 S(t)=∑(i=1 to N(t)) Xᵢ 为到时刻 t 的累计索赔总额，则 E[S(2)] 等于多少？ A. 30（万元） B. 34（万元） C. 38（万元） D. 42（万元）
设样本观测 (xᵢ, yᵢ)：(0,1)、(1,2)、(3,5)、(4,7)。在 x₀=2 处作局部线性回归，即最小化 ∑ᵢ K((xᵢ−x₀)/h)(yᵢ−a−b(xᵢ−x₀))²，核函数取 K(t)=1−|t|（|t|≤1，否则为0），带宽 h=2。则截距 a 的加权最小二乘估计为多少？ A. 3.5 B. 3.0 C. 4.0 D. 2.5