大学应用回归分析上册《岭回归与Lasso》练习题

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本单元考点（5 个）

岭回归的基本思想岭迹图与岭参数选择Lasso方法的原理Lasso的变量选择与收缩岭回归与最小二乘的比较

题目预览（5/27 题）

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1. 设线性回归模型 y=Xβ+ε 中，设计矩阵 X 的 Gram 矩阵为 X′X=[[5,2],[2,5]]，且已知 X′y=(7,7)′。取岭参数 k=3。(1) 写出岭估计 β̂(k) 的定义式，并计算其值；(2) 计算最小二乘估计 β̂_OLS，比较两者并说明岭回归为何能改善最小二乘在多重共线性下的不稳定问题。

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2. 在做岭回归时，以岭参数 k 为横轴绘制各自变量标准化回归系数 β̂ⱼ(k) 随 k 变化的曲线，即岭迹图。某数据集含三个自变量，随着 k 从 0 增大，发现：变量 x₂ 的岭迹曲线迅速趋近 0 且符号由负变正，曲线全程不稳定；x₁ 与 x₃ 的岭迹曲线平缓且始终远离 0，很快趋于稳定。若依据岭迹法选择剔除不稳定的变量，并在岭迹趋于平稳的最小 k 处取岭参数，则正确的处理是：剔除哪个变量？岭参数 k 应选较大值还是较小的值？A. 剔除 x₂，k 取较小值　B. 剔除 x₂，k 取较大值　C. 剔除 x₁ 或 x₃，k 取较大值　D. 剔除 x₁ 或 x₃，k 取较小值

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3. 设响应变量 y 已中心化，p 个自变量已标准化，设计矩阵 X 满足正交规范设计（X′X=I）。考虑 Lasso 问题：min_β (1/2)·||y−Xβ||² + λ·∑|β_j|，其中 λ=2。已知最小二乘估计为 β^(OLS)=(6, −3, 2)′。请写出该 Lasso 问题的解 β̂，并说明哪个自变量的系数被压缩为零（即被变量选择剔除）。

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4. 岭回归的基本思想是在最小二乘的残差平方和上增加一个惩罚项，由此得到岭估计 β̂(λ)=(XᵀX+λI)⁻¹Xᵀy。当惩罚参数 λ 逐渐增大时，岭估计的系数整体会呈现怎样的变化趋势？A. 所有系数始终精确保持不变 B. 系数整体被压缩，绝对值逐渐减小，估计更稳定 C. 部分系数被精确压缩为零，实现变量选择 D. 系数绝对值逐渐增大并趋于无穷

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5. 设线性模型 y=β₁x₁+β₂x₂+β₃x₃+ε 的数据已中心化并单位化，设计矩阵满足正交条件 XᵀX=I，此时最小二乘估计为 b=(b₁,b₂,b₃)ᵀ=(6,−4,1)ᵀ。现采用Lasso估计，即最小化 ||y−Xβ||²+λ∑|βⱼ|（λ>0），其解具有软阈值形式 β̂ⱼ=sign(bⱼ)(|bⱼ|−λ)₊。取 λ=5：(1) 写出 β̂₁、β̂₂、β̂₃ 的值；(2) 指出Lasso保留了哪些变量，并说明被删去变量的系数被压缩成了什么值，体现了Lasso的何种性质。

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