全部来自 AI 原创生成并经逐题审校的题目，带 精品 标记的为 AI 复审通过。整卷生成请去组卷。
设 f(x)=x²，用梯度下降法求其极小点。取步长 α=1/4，初始点 x₀=4，迭代公式为 x_{k+1}=x_k − α·f′(x_k)。(1) 写出 x_k 关于 k 的表达式；(2) 以梯度范数 ‖f′(x_k)‖<0.01 作为停止准则，求所需的最小迭代次数 k。
登录后查看答案
设用 Gelman-Rubin 方法诊断两条独立 MCMC 链的收敛性，每条链长度 n=5。已知两条链的样本均值分别为 x̄₁=10，x̄₂=12，样本方差分别为 s₁²=4，s₂²=4。请计算链间方差 B、链内平均方差 W、合并方差估计 Var⁺ = ((n−1)/n)W + B/n，并求潜在尺度缩减因子 R̂ = √(Var⁺/W)，据此判断链是否已收敛（通常以 R̂<1.1 为收敛标准）。
设 {X(t), t∈R} 是严平稳过程，且 E[X(t)²]=c²>0（常数）。另设过程 {Y(t), t∈R} 满足 Y(t)=X(t)+Z(t)，其中 {Z(t)} 是与 {X(t)} 独立的宽平稳过程，均值为 0，自相关函数 R_Z(τ)=σ²·e^(−|τ|)。（1）说明 {X(t)} 的自相关函数 R_X(τ)=E[X(t)X(t+τ)] 必与 t 无关，从而 {X(t)} 是宽平稳的，并写出 R_X(τ) 应满足的性质；（2）判断 {Y(t)} 是否为宽平稳过程，若是，写出其均值函数与自相关函数。
用蒙特卡洛方法估计积分 I=∫₀¹ eˣ dx。方法一为朴素蒙特卡洛：取 U∼U[0,1]，估计量为 X=e^U；方法二采用对偶变量法：取样本对 (e^U, e^(1−U))，估计量为 T=(e^U+e^(1−U))/2。已知 e≈2.71828，e²≈7.38906。(1) 计算 Var(X)；(2) 计算 Cov(e^U, e^(1−U))；(3) 计算 Var(T)；(4) 求对偶变量法相比朴素蒙特卡洛的方差缩减百分比（保留三位小数）。
设离散随机变量 X 的分布律为：P(X=1)=0.2，P(X=2)=0.3，P(X=3)=0.5。用逆变换法生成 X 的随机数，判定规则为：若 F(k−1)＜U≤F(k)，则取 X=k（约定 F(0)=0），其中 F 为 X 的分布函数。现有三个独立均匀随机数 U₁=0.35，U₂=0.85，U₃=0.19。请依次写出对应的 X₁、X₂、X₃，并求这三个随机数的样本均值。
设赌徒每局以概率 p=2/3 赢 1 元，概率 q=1/3 输 1 元，各局独立。设 Sₙ 为 n 局后的累计盈亏（S₀=0），令 Mₙ=(q/p)^{Sₙ}=(1/2)^{Sₙ}。验证 {Mₙ} 是关于自然 filtration 的鞅。赌徒设定停时 T=min{n≥0: Sₙ=3 或 Sₙ=−3}。试用可选停时定理求 T<∞ 时赌徒先到达 +3 的概率 π。
某研究组想估计总体中位数 θ，从容量为 80 的样本计算出样本中位数 θ̂ = 12.6。为构造 θ 的自助置信区间，进行 B = 1000 次自助重抽样，每次重抽样后计算中位数，得到 1000 个自助估计值 θ̂*₁, θ̂*₂, …, θ̂*₁₀₀₀。将这 1000 个值从小到大排序，记为 θ̂*((1)) ≤ θ̂*((2)) ≤ … ≤ θ̂*((1000))。已知排序后第 25 个值为 10.4，第 26 个值为 10.7，第 974 个值为 15.1，第 975 个值为 15.5，其余值均不等于这些端点。请用百分位法构造 θ 的 95% 自助置信区间，要求写出所取的分位数位置及对应数值。
设某统计量 θ̂ 的自助法重抽样次数 B=100，得到 100 个自助估计值并从小到大排序，记为 θ̂*_((1)) ≤ θ̂*_((2)) ≤ … ≤ θ̂*_((100))。已知排序后 θ̂*_((3)) = 4.2，θ̂*_((98)) = 9.8。请用百分位法构造置信水平为 95% 的自助置信区间，写出区间端点所用的分位数位置（即对应排序序号的选取规则）及最终区间。
设 f(x,y)=2x²+3y²+2xy，取初始点 x₀=(1,1)ᵀ。用牛顿法求极小点：写出梯度 ∇f 与 Hessian 矩阵 H，计算经一次牛顿迭代得到的 x₁；再判断第二次迭代所得 x₂ 与 x₁ 是否相同，并说明原因（提示：f 为二次函数时牛顿法一步收敛到精确极小点）。
设 {W(n), n∈Z} 为零均值白噪声，方差 σ²=4，且不同时刻互不相关。定义线性滤波输出 X(n)=W(n)+0.5·W(n−1)。（1）证明 {X(n)} 是弱平稳过程；（2）求 X(n) 的方差及自相关函数 R_X(k)（k=0,1,2，其余滞后给出通式）。
设 {X(t), t∈R} 为均值为 μ₀、自相关函数为 R_X(τ) 的宽平稳过程。考虑线性时不变系统，其频率响应为 H(ω)=2e^(-jω)，输入为 X(t)，输出为 Y(t)。试说明 Y(t) 也是宽平稳过程，并求 Y(t) 的均值 E[Y(t)] 与自相关函数 R_Y(τ)（用 R_X 表示）。
某工厂一台机器连续工作，损坏后立即更换，更换间隔时间 X（单位：小时）相互独立同分布，密度为 f(x)=x·e^(-x)（x>0）。每次更换一台机器的费用为 120 元。设长期运行，试用更新定理求每天（24 小时）平均更换费用的期望值。
设 {N(t), t≥0} 是强度为 λ 的泊松过程，且 N(0)=0。已知 P{N(2)=0}=e^(−4)。(1) 求强度 λ 的值；(2) 在此强度下，利用独立增量与平稳增量性质，求概率 P{N(5)−N(3)=0}（结果用 e 的幂表示）。
设待估积分为 I=∫₀¹ eˣdx=e−1。用蒙特卡洛方法，抽取 X₁,X₂,X₃ 服从 U(0,1)，样本值依次为 0.2、0.4、0.6。取 Y=1+X 作为控制变量（E[Y]=3/2），已知控制变量系数取 c=1.5。控制变量估计量为 Î=样本均值(eˣᵢ)+c×(E[Y]−样本均值(Yᵢ))。请：(1) 简述控制变量法为什么能降低估计方差（一句话说明其原理）；(2) 代入数据求出 I 的控制变量估计值（保留4位小数）。
设 U₁, U₂ 为相互独立的均匀分布 U(0,1) 随机数。取 U₁ = e^(-2)，U₂ = 1/6。用 Box-Muller 变换：Z₁ = √(-2·ln U₁)·cos(2πU₂)，Z₂ = √(-2·ln U₁)·sin(2πU₂)，生成标准正态随机数 Z₁ 和 Z₂。求 Z₁ 和 Z₂ 的值。
设简单对称随机游动 Sₙ = X₁+⋯+Xₙ（S₀=0，P(Xᵢ=1)=P(Xᵢ=−1)=1/2），令 Mₙ = Sₙ² − n。取停时 T = min{n ≥ 1 : |Sₙ| = 3}。已知 T < ∞ 几乎必然，且 {|Mₙ∧T|} 一致可积。试用可选停时定理求 E[T]。
设生灭过程 {X(t), t≥0} 的状态空间为 {0,1,2,3,4}，出生率 λₙ=4−n（n=0,1,2,3，λ₄=0），死亡率 μₙ=n（n=1,2,3,4）。该过程存在唯一的平稳分布 {πₙ}。试求 π₂ 与 π₃。
用蒙特卡洛方法估计 I=∫₀¹ e^x dx。独立抽取 n=100 个 U(0,1) 样本 x₁,…,x₁₀₀，计算 e^(xᵢ) 的样本均值 X̄=1.718，样本标准差 S=0.62。(1) 写出所用的蒙特卡洛估计量并说明它是 I 的无偏估计；(2) 计算该估计的标准误；(3) 已知 I 的精确值为 e−1≈1.7183，判断本次估计的绝对误差是否小于一个标准误，并计算该误差与标准误之比（保留三位小数）。
某社区为估计居民人均月用水量（立方米），从全体 8000 名居民中简单随机抽取 200 人进行调查，抽样时未分层。调查结束后，利用物业登记资料得知总体中按住房类型分为三层：小户型占 30%、中户型占 50%、大户型占 20%。调查员将样本事后分为对应三层，各层样本量与样本均值分别为：小户型 80 人、月均 120 立方米；中户型 70 人、月均 200 立方米；大户型 50 人、月均 320 立方米。请：(1) 用事后分层加权法估计全社区人均月用水量；(2) 计算该估计值与简单样本均值之差（后值减前值），说明权重调整的方向。
设马尔可夫链 {Xₙ, n≥0} 的状态空间为 {1,2,3,4,5}，一步转移概率为：p₁₂=1；p₂₁=1/2，p₂₃=1/2；p₃₂=1；p₄₄=1；p₅₄=1/2，p₅₅=1/2，其余 pᵢⱼ=0。试：（1）对每个状态判定其是常返态还是瞬过态，并指出各常返类；（2）求状态 4 的平均返回时间 μ₄；（3）求状态 5 的平均返回时间 μ₅。