考试考研数学（数三）上册《高等数学·多元函数微积分学》练习题

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本单元考点（6 个）

二元函数的极限与连续偏导数与全微分复合函数与隐函数求导多元函数极值与条件极值（拉格朗日乘数法）二重积分的计算（直角坐标、极坐标）二重积分的对称性与交换积分次序

题目预览（5/18 题）

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1. 设 f(x,y) = (x²y)/(x⁴ + y²)（当 (x,y)≠(0,0)），f(0,0)=0，考察 f 在点 (0,0) 处的极限与连续性。下列结论正确的是：A. f 在 (0,0) 处极限存在且等于 0，故连续　B. f 在 (0,0) 处极限存在但不等于 0，故不连续　C. 沿任意直线 y=kx 趋于 (0,0) 时极限均为 0，但二重极限不存在，故不连续　D. f 在 (0,0) 处极限存在且等于 1/2，故不连续

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2. 设平面区域 D = {(x,y) | x² + y² ≤ 1}，则二重积分 ∬_D (x⁵ + y³ + 2) dσ 的值为（　　） A. π　B. 2π　C. π/2　D. 0

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3. 设平面区域 D = {(x,y) | x² + y² ≤ 2y}，则二重积分 ∬_D (x⁵ + 2) dσ = ____

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4. 设平面区域 D = {(x,y) : x²+y² ≤ a², y ≥ 0}，且二重积分 ∬_D √(x²+y²) dσ 的值等于 9π，则常数 a = ____。

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5. 设平面区域 D = {(x,y) | x² + y² ≤ 2x}，则二重积分 I = ∬_D (x²y + x + 3) dσ + ∫₀¹ dy ∫_y^1 x³ dx 的值为____

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